重新整理了一下笔记

引入

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一个数的逆元就是数论中，该数在模另一个数的意义下的倒数。

这么说或许太抽想了，我们可以看这个：

求组合数 $\Large{\left( ^a_b \right)}$ 取模 $10^9+7$ 的值。

这道题看上去简单，但是我们发现：

组合数是有乘有除的，而我们一般都是先乘完所有的再一个个除，这时就会出事了：

就比如 $\Large{\left( ^{20}_{10} \right)}$，我们可以看出答案是 $\Large{\frac{20!}{10!(20-10)!}}$

首先 $20!$ 肯定超过了 $10^9+7$，因此答案是取模过的。

但是，还有两个 $10!$ 还没有乘上去，可是取模过的数无法直接做除法运算了。

这可怎么办呢？就靠逆元了。

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逆元的产生

以模数为 $11$ 为例：

$3*7=21，21 ≡ 10 (\text{mod } 11)$

我们尝试着将 $10$ 乘上一个数，使得它取模 $11$ 还原成 $3.$（实现理论除以 $7$ 的运算）

不难解出答案为 $8.$

那么，$8$ 就是 $7$ 在模 $11$ 意义下的逆元。

因此，在答案模 $11$ 的意义下，实现数除以 $7$ 我们只需要将数乘 $8$ 再取模就可以了。

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如何求逆元

① 最好想的：费马小定理求逆元

费马小定理，当 $a$ 与 $p$ 互质且 $p$ 是质数的时候，满足：

$$a^{p-1} ≡ 1 (\text{mod }p)$$

那么，$a^{p-2}$ 就相当于少乘了一个 $a$，也就实现了除 $a$ 的运算。

而右边只有一个 $1$，于是在模 $p$ 意义下 $a$ 的逆元是 $a^{p-2}$，这个可以用快速幂求。

前提条件：$p$ 是质数。

但为什么 $a$ 可以与 $p$ 不互质呢？

因为不互质答案就是 $0$ ，虽然不满足费马小定理，但是可以求逆元，不影响结果。

例题：

题意：求有理数 $\frac{a}{b}$ 在模 $19260817$ 意义下的值，$0 \le a,b \le 10^{10001}.$

这道题的亮点就在于 $a,b$ 的规模，面对这种情况，我们一般使用快读处理：

一般的快读（无负数快读）：

inline int read(){    int num = 0;    char c = getchar();    while(c < '0' || c > '9')        c = getchar();    while(c >= '0' && c <= '9'){        num = num * 10 + c - '0';        c = getchar();    }    return num;}

在此基础上，我们加一些操作：

因为在模 $19260817$ 的意义下，$\Large{\frac{a}{b}=\frac{a\mod19260817}{b\mod19260817}}$ ，所以我们能在快读的过程中实现数字取模。

快读是一位一位拼上去的，那我们在拼的过程中就拼一次取模一次，就可以实现读入数并且取模了。

inline int read(){    int num = 0;    char c = getchar();    while(c < '0' || c > '9')        c = getchar();    while(c >= '0' && c <= '9'){        num = num * 10 % 19260817 + c - '0';        c = getchar();    }    return num % 19260817;}

剩下的就好办了，在模 $19260817$ 的情况下，$b=0$ 意味无解，否则只需要将 $a$ 乘上 $b$ 的逆元在取模即可。

由于 $19260817$ 是质数，可以用费马小定理求。